Operasi Biner dan Sifatnya

            Operasi Biner dan Sifatnya     

Operasi Biner yaitu jika S adalah himpunan yang tidak kosong, maka operasi biner * pada S adalah suatu pemetaan(fungsi) yanng mengawankan setiap pasangan berurutan. 

Notasi Opersa Biner dapat berupa : *, o , dll

Sifat pada Operasi Biner :

1. Sifat Komutatif 

Yaitu apabila untuk setiap x, y elemen himpunan S , maka berlaku x*y = y*x .

Contoh : Misal terdapat x,y elemen Z. Dengan.                  x*y = x + xy, apakah operasi biner.                        berikut bersifat komutatif ?

  

Solusi : Untuk membuktikan operasi biner.                        berikut bersifat komutatif maka,

              akan di  buktikan,               

                          

                            x*y = y*x

                       x + xy = y + yx

Karena x*y ≠ y*x , maka operasi biner berikut tidak bersifat komutatif.

2. Sifat Assosiatif

Yaitu apabila untuk setiap x, y elemen himpunan S , maka berlaku (x*y)*z = x*(y*z).

Contoh :  Untuk membuktikan operasi biner.                       berikut bersifat assosiatif maka,

                 akan di  buktikan,    

                  

                            (x*y)*z = x*(y*x)

                       (x + xy)*z = x*(y + yz)

         (x + xy) + (x +xy)z = x + x(y + yz)

             x + xy + xz +xyz = x + xy + xyz

          

Karena  (x*y)*z ≠ x*(y*z). , maka operasi biner berikut tidak bersifat assosiatif.

3. Sifat Tertutup 

Misalkan a dan b adalah suatu anggota himpunan tak kosong maka a dan b tertutup terhadap bilangab bulat Z bila a*b elemen Z.